Types de base : flottants

Contrairement aux entiers, les nombres réels peuvent avoir une partie fractionnaire.
Pour les représenter en informatique, on utilise le format nombre à virgule flottante (floating point).

Conversion décimal vers binaire

Prenons \(6.34375_{10}\)
On peut séparer cette valeur en deux :
- la partie entiére : 6
- la partie fractionnaire : 0.34375

On sait déja transformer les valeurs entiére : \(6_{10} = 110_2\)

Pour la partie fractionnaire, à l'inverse, on va effectuer des multiplications successives : On multiplie notre valeur par 2. Puis on recommence avec la partie fractionnaire du resultat. Et ainsi de suite jusqu'à ce que le resultat soit une valeur entiére.

\(0.34375 \times 2 = 0.6875\)
\(0.6875 \times 2 = 1.375\)
\(0.375 \times 2 = 0.75\)
\(0.75 \times 2 = 1.5\)
\(0.5 \times 2 = 1\)

Pour finir on regarde les valeurs entiéres des resultats de haut en bas.
On a donc comme partie fractionnaire : \(0.01011_2\).

Pour finir, il nous suffit d'additionner nos deux résultats : \(6.34375_{10} = 110.01011_2\).

Conversion binaire vers décimal

Ici, nous utiliserons la même méthode que pour les valeurs entiéres. Les bits de la partie fractionnaire correspondent à des puissances négatives.

Reprenons notre résultat précédent : \(110.01011_2\).

\(2^2\) \(2^1\) \(2^0\) \(2^{-1}\) \(2^{-2}\) \(2^{-3}\) \(2^{-4}\) \(2^{-5}\)
1 1 0 0 1 0 1 1

Pour retrouver notre valeur décimal nous pouvons effectuer ce calcul :
$$ 2^2 + 2^1 + 2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5} = $$ $$4 + 2 + 0.25 + 0.0625 + 0.03125 = 6.34375 $$

Rappel sur les puissances

Une puissance négative permet de représenter la division répétée.

  • Pour tout nombre non nul \(a\) et tout entier \(n > 0\) :
    $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Autrement dit, \(a^{-n}\) est l'inverse de \(a^n\).

\(2^-1\) \(2^-2\) \(2^-3\) \(2^-4\) \(2^-5\) \(2^-6\) \(2^-7\)
\(\frac{1}{2^1}\) \(\frac{1}{2^2}\) \(\frac{1}{2^3}\) \(\frac{1}{2^4}\) \(\frac{1}{2^5}\) \(\frac{1}{2^6}\) \(\frac{1}{2^7}\)
\(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{16}\) \(\frac{1}{32}\) \(\frac{1}{64}\) \(\frac{1}{128}\)
\(0.5\) \(0.25\) \(0.125\) \(0.0625\) \(0.03125\) \(0.015625\) \(0.0078125\)

Exemples

  • \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125\)
  • \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04\)
  • \(10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0.0001\)

La norme IEEE 754

La norme IEEE 754 définit comment représenter un réel sur un nombre fini de bits.
Elle utilise trois composants :

  1. Signe (1 bit) : 0 → positif, 1 → négatif
  2. Exposant : encode la puissance de 2
  3. Mantisse (ou fraction) : encode les chiffres significatifs

Le nombre réel est donc représenté comme :

\[ x = (-1)^{\text{signe}} \times 1.\text{mantisse} \times 2^{\text{exposant}-\text{biais}} \]
  • Le biais est un nombre ajouté pour que l’exposant puisse être positif ou négatif.
  • La mantisse permet de représenter les chiffres significatifs.

Propriétés importantes

  • Certains nombres ne peuvent pas être représentés exactement.
    Exemple : \(0.1_{10}\) n’a pas de représentation binaire exacte.
  • Les erreurs d’arrondi peuvent s’accumuler lors des calculs.
  • Il ne faut jamais tester l’égalité de deux flottants avec ==.

Exemples

  • \(0.25_{10} = 0.01_2\) exactement
  • \(0.1_{10}\) = une suite infinie en binaire → approximation
  • \(1/3_{10} \approx 0.3333...\) → approximation

Exercices

  1. Convertir les nombres suivants en binaire flottant (approximatif sur 8 bits de mantisse) :
  2. 0.1
  3. 0.25
  4. 1/3
  5. Vérifier pourquoi 0.2 + 0.1 != 0.3 en Python ou en pseudo-code.